MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [1.257]

Equação dependente do tempo

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante $�$ por $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ . A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:^[7]

Equação de Schrödinger Dependente do Tempo (geral)

${\hat {H}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Em que $�$ é a unidade imaginária, $\hbar$ é a constante de Planck dividida por $2\pi$ , e o Hamiltoniano ${\hat {H}}$ é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Equação independente do tempo

Equação unidimensional

Em uma dimensão, a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[8]

{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\left(x\right)+V\left(x\right)\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

em que $\psi \left(x\right)$ é a função de onda independente do tempo em função da coordenada $�$ ; $\hbar$ é a constante de Planck $ℎ$ dividida por $2\pi$ ; $�$ é a massa da partícula; $V\left(x\right)$ é a função energia potencial e $�$ é a energia do sistema.

Equação multidimensional

]

Em mais de uma dimensão a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[9]

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{{\nabla }^{2}}\psi \left({\vec {r}}\right)+V\left({\vec {r}}\right)\psi \left({\vec {r}}\right)=E\psi \left({\vec {r}}\right)

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

em que ${\nabla }^{2}\psi =\sum _{n=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{n}^{2}}}$ é o operador laplaciano em $�$ dimensões aplicado à função $\psi$ .

As equações de Madelung ou as equações da hidrodinâmica quântica são uma formulação alternativa de Erwin Madelung equivalente à equação de Schrödinger, escrita em termos de variáveis hidrodinâmicas, similar às equações de Navier-Stokes da dinâmica dos fluidos. A derivação das equações de Madelung^[1] é semelhante à formulação de de Broglie-Bohm, que representa a equação de Schrödinger como uma equação quântica de Hamilton-Jacobi .

Equações

As equações de Madelung ^[2] são equações de Euler quânticas:^[3]

\partial _{t}\rho _{m}+\nabla \cdot (\rho _{m}\mathbf {u} )=0,

{\frac {d\mathbf {u} }{dt}}=\partial _{t}\mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-{\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } (Q+V)

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

onde $\mathbf {u}$ é a velocidade do fluxo $\rho _{m}=m\rho =m|\psi |^{2}$ é a densidade de massa, $Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\sqrt {\rho _{m}}}}$ / $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$V$

$G$

As equações de Madelung são derivadas escrevendo-se a função de onda na forma polar

\psi (\mathbf {x} ,t)={\sqrt {{\frac {1}{m}}\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}e^{{\frac {i}{\hbar }}S(\mathbf {x} ,t)}

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

e substituindo esta forma na equação de Schrödinger

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {x} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} ,t)\right]\psi (\mathbf {x} ,t)

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

O fluxo de velocidade é definido por

\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

a partir do qual também descobrimos que ${\frac {1}{m}}\rho _{m}\mathbf {u} =\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}[\psi ^{*}(\nabla \psi )-\psi (\nabla \psi ^{*})]$ , / $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$\mathbf {j}$

A força quântica, que é o negativo do gradiente do potencial quântico, também pode ser escrita em termos do tensor quântico de pressão.

\mathbf {F_{Q}} =-\mathbf {\nabla } Q=-{\frac {m}{\rho _{m}}}\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q}

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

onde

\mathbf {p} _{Q}=-(\hbar /2m)^{2}\rho _{m}\nabla \otimes \nabla \ln \rho _{m}

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

A integral de energia armazenada no tensor de pressão quântica é proporcional à informação de Fisher, que é responsável pela qualidade das medições. Assim, de acordo com o limite de Cramér-Rao, o princípio da incerteza de Heisenberg é equivalente a uma desigualdade padrão para a eficiência (estatística) das medições. A definição termodinâmica do potencial químico quântico $\mu =Q+V={\frac {1}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\widehat {H}}{\sqrt {\rho _{m}}}$ / $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$\nabla \mu =(m/\rho _{m})\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q}+\nabla V$ / $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$\ \varepsilon =\mu -\operatorname {tr} (\mathbf {p} _{Q})(m/\rho _{m})=-\hbar ^{2}(\nabla \ln \rho _{m})^{2}/8m+U$ / $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$\ \varepsilon =0$

O oscilador harmônico quântico é o análogo quântico do oscilador harmônico clássico. É um dos sistemas modelo mais importante em mecânica quântica, já que qualquer potencial pode ser aproximado por um potencial harmônico nas proximidades do ponto de equilíbrio estável (mínimo). Além disso, é um dos sistemas quânticos que admite uma solução analítica precisa.

Oscilador harmônico monodimensional

Hamiltoniano, energia e autofunções

Funções de onda para os primeiros seis autoestados, $v=0{\mbox{ a }}7$ . O eixo horizontal mostra a posição y em unidades (h/2πmω)^1/2. Os gráficos não estão normalizados.

Densidades de probabilidade dos primeiros autoestados (dimensão vertical, com os de menor energia na parte inferior) para as diferentes localizações espaciais (dimensão horizontal)

No problema do oscilador harmônico monodimensional, uma partícula de massa $\displaystyle m$ está submetida a um potencial quadrático $\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}$ . / $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$\displaystyle k=m\omega ^{2}$

O hamiltoniano quântico da partícula é:^[1]

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

onde ${\hat {x}}\,$ é o operador posição e ${\hat {p}}\,$ é o operador momento $\left({\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}\right)$ . O primeiro termo representa a energia cinética da partícula, enquanto que o segundo representa sua energia potencial. Com o fim de obter os estados estacionários (ou seja, as autofunções e os autovalores do hamiltoniano ou valores dos níveis de energia permitidos), é necessário resolver a equação de Schrödinger independente do tempo

{\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Pode-se resolver a equação diferencial na representação de coordenadas utilizando o método de desenvolver a solução em série de potências. Se obtém assim que a família de soluções é^[2]

\left\langle x|\psi _{v}\right\rangle ={\sqrt {\frac {1}{2^{v}\,v!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{v}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

v=0,1,2,\ldots

onde $v\,$ representa o número quântico vibracional. As primeiras seis soluções ( $v=0{\mbox{ a }}5\,$ ) se mostram na figura da direita. As funções $H_{n}$ são os polinômios de Hermite:

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Não se devem confundir com o hamiltoniano, que às vezes se denota por H (ainda que é preferível utilizar a notação ${\hat {H}}$ para evitar confusões). Os níveis de energia são

E_{v}=\hbar \omega \left(v+{1 \over 2}\right)\qquad v=0,1,2,\ldots

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

c $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Este espectro de energia destaca por três razões. A primeira é que as energias estão "quantizadas" e somente podem tomar valores discretos, em frações semi-inteiras $1/2$ , $3/2$ , $5/2$ , ... de $\hbar \omega$ . Este resultado é característico dos sistemas quânticos em que a partícula está confinada.^[2]

A segunda é que os níveis de energia estão igualmente espaçados, ao contrário que no modelo de Bohr ou a partícula em uma caixa.

A última razão é que a energia mais baixa não coincide com o mínimo do potencial (zero neste caso). Assim, a energia mais baixa possível é $\hbar \omega /2$ , e se denomina "energia do estado fundamental" ou energia do ponto zero.

A energia do ponto zero é necessária para cumprir com o princípio da incerteza de Heisenberg, já que se a energia do estado fundamental for zero, tanto a energia potencial quanto a energia cinética da partícula seriam zero. Energia potencial zero implica que a partícula está localizada exatamente na origem (com △x = 0) e energia cinética zero implica que o momento da partícula é zero (△p = 0), ferindo assim o principio da incerteza, pois a incerteza na posição e no momento não podem ser ambos zero.^[3]

Convém destacar que a densidade de probabilidade do estado fundamental se concentra na origem. Ou seja, a partícula passa mais tempo no mínimo do potencial, como seria de esperar em um estado de pouca energia. A medida que a energia aumenta, a densidade de probabilidade se concentra nos "pontos de retorno clássicos", onde a energia dos estados coincide com a energia potencial. Este resultado é consistente com o do oscilador harmônico clássico, para o qual a partícula passa mais tempo (e portanto é onde seria mais provável encontrá-la) nos pontos de retorno. Se satisfaz assim o princípio da correspondência.

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